A Proporção Áurea
& Espiral de Fibonacci

Parte 1: A Proporção Áurea

Antigamente, as pessoas já precisavam medir e construir coisas manualmente, como casas, vasos e ferramentas. Como ainda não existiam as réguas, trenas e fitas métricas modernas, elas conseguiam fazer isso comparando tamanhos.

Elas comparavam, por exemplo, a altura de uma mesa com a largura dela e viam a proporção entre elas (vendo assim, se a largura era o dobro da altura, ou somente uma vez e meia, por exemplo).

Algumas dessas proporções eram bem úteis e eles as usavam em várias coisas. Uma delas era tão utilizada que a gente passou a chamar de "proporção de ouro", ou "proporção áurea".

Para entendê-la, imagine que você tem uma vara de madeira e que você quer dividi-la em duas partes, sendo uma parte maior que a outra. Vamos chamar a parte maior de pedaço a e a parte menor de pedaço b.

Tem um lugarzinho especial em que você pode fazer esse corte. Se a vara for dividida nesse ponto, acontece algo interessante: a proporção entre o tamanho do "pedaço a" e o tamanho do "pedaço b" vai ser exatamente igual à proporção entre o tamanho da vara inteira e o tamanho do "pedaço a".

Ou seja: Se dividirmos o [tamanho do pedaço a] pelo [tamanho do pedaço b] o resultado vai ser exatamente igual ao que nós conseguimos ao dividir o [tamanho da vara completa] pelo [tamanho do pedaço a].

Você deve estar se perguntando, qual é o número que é o resultado dessa divisão (o valor da proporção). Na verdade é um número que continua para sempre, sem repetir (1,6180339887498948482... continuando até o infinito). Para simplificar, a gente diz que é aproximadamente 1,618.

Podemos ainda usar uma letra grega pra representar esse número, que vemos abaixo:

As pessoas da antiguidade usavam essa proporção simples para: dividir espaços em construções, organizar tamanhos de objetos (como altura e largura), manter equilíbrio entre diferentes partes de uma obra, e coisas do tipo. Ou seja, fi, ou a proporção áurea é uma forma de comparar tamanhos que pode ajudar a organizar melhor as coisas.

Parte 2: O Retângulo Áureo

Com o tempo, as pessoas perceberam que algumas proporções parecem mais equilibradas quando olhamos para elas, especialmente em construções. Uma dessas proporções é justamente bem parecida com a proporção áurea.

Quando fazemos um retângulo em que a largura e a altura seguem mais ou menos essa proporção, ele costuma parecer equilibrado, nem muito esticado, nem muito achatado. Esse tipo de forma é chamado de retângulo áureo. A largura do retângulo áureo tem a proporção de aproximadamente 1,618 em relação à altura.

Arquitetos e artistas, principalmente na Grécia Antiga, gostavam de trabalhar com proporções bem organizadas para deixar suas construções mais harmoniosas. Então em muitos prédios gregos encontramos o retângulo áureo presente. Um exemplo famoso é o templo chamado Partenon.

Os estudiosos observam que ele usa proporções bem equilibradas entre altura, largura e espaçamentos.

Mas é importante entender:

• Nem todas as construções antigas usavam exatamente a proporção áurea;
• Nem todo mundo acha que essa é a proporção "mais bonita".

O que realmente importa é que proporções organizadas ajudam nosso cérebro a entender melhor o que estamos vendo, e isso pode dar uma sensação de equilíbrio.

Parte 3: A Espiral Áurea (Espiral de Fibonacci)

Agora vamos ver como surge a espiral.

Começamos desenhando um retângulo áureo.

Depois, dentro dele, desenhamos um quadrado.

O espaço que sobra forma outro retângulo áureo, só que menor e em outra direção.

Então podemos repetir o processo: desenhamos outro quadrado...

depois outro...

e mais outro.

E assim por diante, indefinidamente.

Assim, criamos vários quadrados, cada um menor que o anterior, mas sempre organizados na mesma proporção.

Então, dentro de cada quadrado, desenhamos um arco (um pedaço de círculo), ligando um canto ao outro.

Quando juntamos todos esses arcos, aparece uma curva que vai girando. Essa espiral que se forma é chamada de espiral áurea. Ela também pode ser chamada de espiral de Fibonacci, pois pode ser desenhada usando quadrados com os lados do tamanho dos números da sequência de Fibonacci.

Ela é uma forma geométrica construída com régua e compasso, uma técnica que já era usada por matemáticos e construtores antigos para desenhar curvas suaves.